已知函数fx=ex-ax和gx=ax-lnx有相同最小值（同极限不同境遇——两个有着相同最小值的函数）

摘要：同极限不同境遇——两个有着相同最小值的函数众所周知，函数在数学中扮演着十分重要的角色，而有着相同最小值的函数更是引人注目。在本文中，我们将会探究两个不同的函数，它们分

同极限不同境遇——两个有着相同最小值的函数

众所周知，函数在数学中扮演着十分重要的角色，而有着相同最小值的函数更是引人注目。在本文中，我们将会探究两个不同的函数，它们分别为 $f(x)=e^x-ax$ 和 $g(x)=ax-\\ln{x}$，虽然函数表达式不同，但是它们却有着相同的最小值，让我们一起来看看这个有趣的现象吧！

第一部分：函数表达式的解析与特征

首先，我们来分别解析一下这两个函数的表达式。对于函数 $f(x)$，其中 $e^x$ 是自然指数，是指数函数的特例，表示无限自增的方程；$-ax$ 可以看做一个一次函数的自变量 $x$，系数 $a$ 表示斜率，方程值为自变量 $x$ 的线性变化；而最后得出的 $f(x)$ 是这两者的差值： $$f(x)=e^x-ax$$

而对于函数 $g(x)$，其中的 $ax$ 就是一个一次函数，同样可以看做一个斜率为 $a$ 的线性变化，而 $\\ln{x}$ 则是一个函数，表示 $x$ 的极值上升，这两者的差值得出 $g(x)$： $$g(x)=ax-\\ln{x}$$

可以看出，两个函数在很多方面都不一样，但是有一个共同点，那就是它们都有一个相同的最小值。

接着我们来分析一下两个函数的特征，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 对于自变量 $x$ 均存在最小值。对于 $f(x)$ 的最小值，我们可以通过求导得到： $$f'(x)=e^x-a$$

当导数等于0且二阶导数大于0时，函数 $f(x)$ 取得最小值，即： $$x_0=\\ln{a}$$ $$f(x_0)=e^{\\ln{a}}-a=a-1$$

同样的，对于 $g(x)$ 的最小值，我们也可以通过求导得到： $$g'(x)=a-\\frac{1}{x}$$

当导数等于0且二阶导数大于0时，函数 $g(x)$ 取得最小值，即： $$x_0=\\frac{1}{a}$$ $$g(x_0)=a\\cdot\\frac{1}{a}-\\ln{\\frac{1}{a}}=1+\\ln{a}$$

第二部分：相同最小值的探究

我们可以看出，$f(x)$ 和 $g(x)$ 对于 $x$ 的最小值分别是 $a-1$ 和 $1+\\ln{a}$。而这两个值相等的情形为： $$a-1=1+\\ln{a}$$ $$a\\approx1.7632$$

这样，我们就发现了 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有着相同最小值的情况出现了，而且关键的分界点是 $a\\approx1.7632$，这个数字的意义是什么呢？

为了探究这个问题，我们可以画出这两个函数的图像，观察它们的变化趋势。下面是 $a=1$ 和 $a=3$ 两种情况的图像对比：

可以看出，当 $a$ 很小时，$f(x)$ 的增长明显快于 $g(x)$，而当 $a$ 很大时，$g(x)$ 的增长明显快于 $f(x)$，而当 $a\\approx1.7632$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的增长率相等，同时达到最小值，这就解释了为什么这两个函数在 $a\\approx1.7632$ 时有着相同最小值的问题。