摘要：解析函数的实部和虚部都是调和函数吗？ 什么是调和函数 调和函数是指对于连续二阶可微函数f(x,y)而言，其二阶偏导数之和等于零的函数f(x,y)。也就是说，若f(x,y)是一个调和函数，则

解析函数的实部和虚部都是调和函数吗？

什么是调和函数

调和函数是指对于连续二阶可微函数f(x,y)而言，其二阶偏导数之和等于零的函数f(x,y)。也就是说，若f(x,y)是一个调和函数，则它满足以下条件：

• 在定义域内，f(x,y)具有二阶连续偏导数
• f(x,y)的二阶偏导数之和等于0，即：Δf(x,y) = f_xx(x,y) + f_yy(x,y) = 0

复解析函数的实部和虚部

复解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是指函数f在复平面内解析，即函数f满足柯西-黎曼方程的导数连续存在。其中，实部u和虚部v也是实解析函数，因此可以考虑它们是否为调和函数。

实部和虚部的一阶偏导数

假设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足柯西-黎曼方程，即：

f_z=u_x+iv_x=v_y-iu_y

f_z的实部和虚部分别为：

u_x=v_y ---(1)

v_x=-u_y ---(2)

对于(1)，对u_x求二阶偏导得：

Δu=u_xx+u_yy=v_yx+v_xy

因为v_yx=v_xy，所以

Δu=2v_yx

同理可得：Δv=-2u_yx

实部和虚部的二阶偏导数

由(1)和(2)可得到以下关系：

u_xx=v_xy

u_xy=-v_xx

u_yy=-v_yx

u_yx=v_yy

显然，以上的四个式子还是满足二阶偏导数之和为0的条件。

总结

综上所述，若复解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，则它们的一阶和二阶偏导数之和都为0，因此实部和虚部都是调和函数。

对于能够满足柯西-黎曼方程的复解析函数而言，它一定满足偏导数的调和性，因此对于实部和虚部两个单独的实解析函数，它们都是调和函数。