摘要：证明九点圆圆心在欧拉线上 欧拉线的定义：欧拉线是三角形三垂线、三中垂线、三角形外心、垂心、重心、质心六个特殊点所形成的一条直线。 第一步：证明九点圆存在 九点圆的定义：
证明九点圆圆心在欧拉线上
欧拉线的定义：欧拉线是三角形三垂线、三中垂线、三角形外心、垂心、重心、质心六个特殊点所形成的一条直线。
第一步：证明九点圆存在
九点圆的定义：九点圆是三角形上九个特殊点（中点、垂足、中位线中点）所构成的圆。
我们可以证明，对于任意三角形ABC，其三个特殊点P、Q、R的中点为D、E、F，则DE=EF=FD。根据正弦定理可知：
sin∠BPC·sin∠CQA·sin∠ARB
=sin∠BPD·sin∠CQE·sin∠ARF
=sin∠CPD·sin∠AQE·sin∠BRF
由于三角形BPC、CQA、ARB均相似，且对应角度之和为180°，而且
sin∠BPC=2sin∠BAC（利用单位三角形中，正弦值等于对边与斜边比）
sin∠CQA=2sin∠ABC
sin∠ARB=2sin∠ACB
那么sin∠BPC·sin∠CQA·sin∠ARB=8sin∠A·sin∠B·sin∠C
同理，sin∠BPD·sin∠CQE·sin∠ARF=8sin∠A·sin∠B·sin∠C
因此，sin∠BPC·sin∠CQA·sin∠ARB=sin∠BPD·sin∠CQE·sin∠ARF
即
PD/BD·QE/CE·RF/AF=PC/BC·QA/AC·RB/AB
化简得，
PD·QE·RF=BD·CE·AF
因为三角函数是连续的，三角形的边长也是连续的，所以这个等式在任意三角形中都成立。因此，利用这个等式，我们可以证明九点圆是存在的，并且三角形ABC的垂心、外心、重心都在这个圆上。
第二步：证明九点圆圆心在欧拉线上
现在我们证明九点圆圆心O、垂心H、重心G三点共线。
首先证明OH与BC垂直。因为OH=R/2（其中R为三角形的外接圆半径），而BC=2Rsin∠A，所以OH·BC=R（∠A=∠BOC）。
然后证明OG与AH垂直。先证明OG在AH上，因为G为重心，所以AG=2/3AH，GB=1/3BH，因此OG:GH=1:2，同时∠OGB=2∠AHB（∠OGB=2∠ACB=2∠AHB），所以OG在AH上并且与AH垂直。
最后证明OH、OG不共点。因为OH·BC=AG·GH（利用这个公式可以证明，H为垂心、O为外心、G为重心的三角形，OH、OG不共点），又因为OH与BC垂直，OG与AH垂直，所以OH、OG共线。
第三步：
我们通过上面的证明，证明了九点圆存在，而且九点圆圆心O、垂心H、重心G三点共线，因此九点圆圆心必须在欧拉线上。这个对所有三角形都成立。
